Cálculo da Perpetuidade Com e Sem Crescimento

Neste artigo abordaremos o cálculo e o significado da perpetuidade como método de tratamento do valor residual na avaliação de projetos de investimento e valorização de empresas.

Definiremos o que é uma perpetuidade com e sem crescimento, e em que casos cada uma delas deve ser aplicada. Todo o conteúdo deste artigo será prático, podendo ser utilizado no dia a dia das empresas.

Ao final, aplicaremos casos práticos de fixação dos conceitos, tanto em avaliação de projetos de investimento como na avaliação de empresas.

O que é valor residual?

Os fundamentos e procedimentos para análise de projetos de investimento e valorização de participações acionárias são os mesmos. O valor de um projeto de investimento ou de uma participação acionária é o valor presente de seu fluxo de caixa projetado.

Daqui para frente, para evitar a todo instante a repetição da expressão “análise de projetos de investimento ou valorização de empresas”, vamos nos fixar apenas no termo análise de projeto. Porém o leitor fica sabendo que todo o conteúdo deste artigo vale tanto para análise de projetos quanto para valorização de participações acionárias.

Um dos componentes do fluxo de caixa a ser descontado é o valor residual. O valor residual corresponde ao valor de um projeto no último ano do período de análise.

Os métodos mais comuns para se estimar o valor residual de um projeto são: valor de liquidação dos ativos e o método da perpetuidade.

O método do valor de liquidação dos ativos consiste em uma estimativa do valor pelo qual os ativos do projeto poderiam ser vendidos ao final do período de análise. Este valor geralmente difere do valor contábil dos ativos.

Costumeiramente o horizonte de análise do fluxo de caixa de um projeto coincide com a vida útil estimada para os ativos operacionais. Ao término desta vida útil estima-se o valor de mercado pela venda dos ativos operacionais.

Este procedimento é aceitável quando estamos analisando efetivamente um projeto com vida útil finita.A maior parte dos projetos têm, a priori, uma vida útil indeterminada. Neste caso, o valor residual poderá ser determinado pelo valor da perpetuidade do fluxo de caixa.

Há dois tipos de perpetuidade: perpetuidade sem crescimento e perpetuidade com crescimento.

O método da perpetuidade, por sua vez, considera que o fluxo de caixa do projeto analisado estende-se infinitamente. Assume-se a repetição de “N” ciclos de investimento para garantir a sobrevivência do projeto.

O valor residual neste caso seria o valor presente deste fluxo de caixa perpétuo, calculado para o último ano do período de análise.

O que é perpetuidade sem crescimento?

A fórmula de cálculo da perpetuidade sem crescimento é a seguinte:

Valor presente da perpetuidade =  Valor da perpetuidade

Taxa de desconto do fluxo

O entendimento da lógica desta fórmula poderá ser dado através do seguinte exemplo:

• Fluxo de caixa anual de um acionista ao adquirir uma empresa em regime de perpetuidade = $1.000 (quanto ele vai colocar no bolso todo ano pelo resto da vida);
• Taxa de desconto = 10% ano. Portanto, o valor da perpetuidade é de: VP = $1.000 / 0,10 = $10.000

                                                                                     $10.000

                         $1.000      $1.000       $1.000      $1.000

       

$10.000

Este período N poderá representar o ano 3, 4, 5, 10, 15, 50 ou qualquer outro.

Neste ano N, o acionista tem direito ao dividendo de $1.000, mais o valor do principal de $10.000 ($1000/0,10), que se refere ao período N+1 em diante.

Atenção! O valor da perpetuidade de $10.000 é no momento zero, pois ela começa a acontecer no momento 1 em diante.

Uma perpetuidade de $1.000 no momento 1 em diante, vale $10.000 no momento zero.

Uma perpetuidade do momento 2 em diante vale menos.

                                                                              $10.000

                       $0           $1.000       $1.000      $1.000

$9.090,91

Neste caso, a perpetuidade vale $10.000 no momento 1. Para trazer o valor para o momento zero, divide-se $10.000 por 1,10 uma vez, chegando-se ao valor de $9.090,91.

Uma perpetuidade do momento 3 em diante vale menos ainda.

                                                                               $10.000

                        $0               $0           $1.000      $1.000

 $8.264,46

Neste caso, a perpetuidade vale $10.000 no momento 2. Para trazer o valor para o momento zero, divide-se $10.000 por 1,10 duas vezes, chegando-se ao valor de $8.264,46.

A conclusão que se chega é que o valor presente da perpetuidade diminui quanto mais distante do momento zero os fluxos ocorrem.

Todavia, o conceito mais importante que está por trás da perpetuidade sem crescimento é o seguinte:

No contexto de perpetuidade sem crescimento, os projetos não criam valor para o acionista, pois os lucros retidos são reaplicados à mesma taxa de desconto do fluxo.

Exemplo:

                                       $10.000

                    $1.000      $1.000

$10.000

Este é o fluxo de caixa representativo de uma perpetuidade de $1.000 descontada por uma taxa de desconto de 10% ao ano.

Vamos assumir que no ano 1 somente será distribuído um dividendo de $500, sendo os outros $500 aplicados à taxa de 10% ao ano.

Como ficaria o fluxo de caixa?

                                       $10.500

                      $500       $1.050

$10.000

• $1.050 = $1.000 + (0,10 x $500 / reflexo do caixa retido no ano 1)
• $10.500 = $1.050 / 0,10 (valor da perpetuidade do ano N+1 em diante)
• $10.000 (valor presente da perpetuidade): $500 / 1,10 + $1.050 / 1,102 + ($1.050 / 0,10) / 1,102

O valor da perpetuidade de $10.000 também poderia ser escrito da seguinte maneira:

• $10.000 (valor da perpetuidade): $500 / 1,10 + ($1.050 / 0,10) / 1,10

Portanto, num contexto de perpetuidade sem crescimento os projetos não criam valor para o acionista. A rigor, a política de dividendos é irrelevante. Descontar o fluxo de lucros ou de caixa é a mesma coisa.

Importante: Na montagem de um fluxo de caixa, usualmente o valor presente é determinado no momento zero. É convencional assumir a entrada/saída de caixa no momento 1 ocorrendo no último dia do ano 1. A entrada/saída de caixa no momento 2 ocorrendo no último dia do ano 2.

Se estivéssemos analisando a instalação de um hotel, a perpetuidade sem crescimento seria assumida a partir do momento em que os preços da hospedagem, gastos operacionais e taxa de ocupação do empreendimento estiverem otimizadas.

A partir deste momento podemos aceitar que novos projetos de investimento terão como missão somente preservar o valor do empreendimento. O crescimento de valor será obtido com a construção de um novo hotel.

O que é perpetuidade com crescimento?

Em uma análise prospectiva é razoável se supor que uma empresa, mesmo com sua capacidade instalada devidamente ocupada, poderia oferecer perspectiva de crescimento constante e infinitamente sua capacidade de geração de caixa.

Naturalmente, a taxa de crescimento deverá ser pequena, em consonância com a perspectiva de crescimento das empresas maduras nas economias mais desenvolvidas.

A fórmula de cálculo da perpetuidade com crescimento é dada pela seguinte expressão:

Valor presente da perpetuidade = Valor da perpetuidade

Taxa de desconto do fluxo – G

Onde G é a taxa de crescimento constante e infinita do fluxo de caixa. A letra G deriva da palavra growth (crescimento).

Exemplo:

Qual o VP com os seguintes dados?

• Fluxo 1 = $100
• Taxa de desconto = 20% a.a.
• G = 5% a.a.

Valor da Perpetuidade (VP) = Perpetuidade

Taxa de desconto do fluxo – G

= $100

0,20 – 0,05

= $666,67

Vamos apresentar a seguinte prova:

PERÍODO

ANO

FLUXO DE CAIXA PROJETADO FLUXO DE CAIXA PROJETADO A PREÇOS DO MOMENTO ZERO
0 ($666,67) (1) ($666,67) (5)
1 $100,00 (2) $83,33
2 $105,00 (3) $72,92
3 $110,25 $63,80
4 $115,76 $55,83
5 $121,55 + $850,87 (4) $390,79

(1) É o valor da perpetuidade crescente.
(2) É o valor do fluxo de caixa ao final do ano 1.
(3) É o valor do fluxo de caixa ao final do ano 2 acrescido do G de 5% em relação ao ano 1. Este crescimento se aplica nos anos seguintes.
(4) $121,55 é o valor do fluxo de caixa ao final do ano 5 acrescido do G de 5% em relação ao ano 4. O valor de $850,87 representa o valor da perpetuidade crescente no ano 5, levando em consideração o fluxo de caixa de $127,63 estimado para o ano 6 em diante preservando o G de 5% a.a. ($850,87 = $127,63 / (0,20 – 0,05)).
(5) Os valores sem crescimentos desta coluna representam os valores da coluna anterior trazidos a valor presente do momento zero a uma taxa de 20% a.a.. Exemplo: $72,92 = $105,00 / (1 + 0,20)2. O valor do fluxo de entrada iguala-se a valor do fluxo de saídas ($666,67 = $83,33 + $72,92 + $63,80 + $55,83 + $390,7).

Tanto a perpetuidade sem crescimento, quanto a perpetuidade com crescimento, serão bastante utilizadas para se determinar o valor residual de um fluxo de caixa.

Países emergentes como o Brasil, assumindo-se o pleno êxito do processo de estabilização econômica, contemplarão nos próximos anos projetos com elevado potencial de criação de valor para o acionista. Portanto, é recomendável projetar o fluxo de caixa do empreendimento pelo número de anos estimados até que a empresa entre no cenário da perpetuidade, com ou sem o G.

A taxa G, quando considerada no cálculo da perpetuidade, não deverá ser elevada pelas seguintes razões:

• A taxa G deverá ser utilizada no cálculo do valor residual, quando a empresa estima a existência de projetos com pouco valor agregado, portanto não fazendo sentido, por natureza, a estimativa de um G elevado.
• A longo prazo, a taxa de crescimento da economia brasileira deverá ser mais moderada, 1 a 2% ao ano, o que também não recomenda do ponto de vista macroeconômico a estimativa de um G elevado.
• Somando ao item anterior, que trata de taxas de crescimento moderadas do PIB a longo prazo, considere-se também a longo prazo a renda per capita estabilizada, população crescendo a taxas pequenas e intensa concorrência nacional e internacional.
• A taxa G pressupõe crescimento perpétuo. Não existe retrospecto de empresa que na sua trajetória registre somente crescimento na sua geração de caixa. Lembremo-nos que um G elevado levará o valor de um fluxo de caixa a patamares muito superiores (de difícil aceitação).

Todavia, a perpetuidade com crescimento guarda um significado bastante importante:

No contexto de perpetuidade com crescimento os projetos são criadores de valor. Lucros retidos são reaplicados a taxas superiores à taxa de desconto, portanto criando valor para o acionista.

Exemplo:

                                       $10.000

                    $1.000      $1.000

$10.000

                                       $10.500

                      $500       $1.050

$10.000

Estes 2 fluxos de caixa já foram apresentados. Ambos valem $10.000. O lucro retido de $500 foi reaplicado a 10%, que é a mesma taxa do CCP.

Vamos assumir que a política de dividendos é a de distribuir 50% do lucro do período e reter os outros 50%. Vamos assumir que os lucros retidos fossem reaplicados a 12% ao ano.

                                                                $14.045

                       $500            $530        $561,80

$12.500

• $500 = $1.000 / 2
• $530 = ($1.000 + $500 x 0,12) / 2 = $1.060 / 2
• $561,80 = ($1.060 + $530 x 0,12) / 2 = $1.123,60 / 2
• Taxa de crescimento nos dividendos = 6% ($530 / $500 ou $561,80 / $530)
• $14.045 = $561,80 / (0,10 – 0,06) é o valor da perpetuidade com crescimento no ano 2 (com base no fluxo de caixa do ano 3 em diante)
• $12.500 = $500 / (0,10 – 0,06) é o valor da perpetuidade com crescimento no momento zero (leva em consideração todo o fluxo de caixa)
• $12.500 = $500 / 1,10 + $530 / 1,102 + $14.045 / 1,102 = $454,55 + $438,02 + $11.607,44

Atenção: O fluxo de caixa de um projeto de investimento não é todo em regime de perpetuidade sem crescimento ou perpetuidade com crescimento. Para se alcançar um destes 2 contextos, é usual que se leve alguns anos.

Durante estes anos, é comum que, na média, o fluxo de caixa reflita “Gs” diferentes, porém crescentes, até se alcançar o contexto de perpetuidade sem crescimento ou perpetuidade com crescimento com “Gs” moderados.

O valor da perpetuidade de $12.500 é no momento zero, e o primeiro fluxo de caixa ocorre somente no momento 1 (este tipo de observação já foi feita anteriormente).

No exemplo citado, o fluxo de caixa descontado se assemelha ao dos dividendos. Falou-se em retenção de lucros e taxa de aplicação dos lucros retidos.

Neste contexto, o “G” poderá ser calculado através da fórmula:

G = Taxa de retenção do lucro líquido x taxa de aplicação dos lucros retidos

Comentários:

• Os conceitos apresentados neste artigo podem ser aplicados tanto para a valorização de empresas quanto para a análise de projetos de investimento.

• Num contexto de perpetuidade sem crescimento os projetos não criam valor para o acionista. A rigor, a política de dividendos é irrelevante. Tanto os fluxos de caixa quanto o de lucro valem a mesma coisa.

• No contexto de perpetuidade com crescimento os projetos são criadores de valor. Lucros retidos são reaplicados a taxas superiores à taxa de desconto, portanto criando valor para o acionista.

• Em projetos de investimento, utilizamos o conceito da perpetuidade quando acreditamos que o referido projeto terá uma vida útil infinita, portanto não utilizamos o conceito de perpetuidade em projetos de concessão de serviços públicos, por exemplo, já que a concessão tem prazo de término.

Casos Práticos Propostos

1. Um investidor está analisando um investimento nas seguintes condições:

– Perpetuidade (dividendos) já a partir do ano 1: $15.000
– Taxa de desconto (custo de capital próprio – CCP): 15% a.a.

• Qual o valor justo a pagar pelo fluxo de caixa projetado? Ou seja, qual o VPL deste fluxo de caixa projetado?
• O valor justo determinado para este fluxo de caixa está no momento 1?
• O valor justo determinado implica em criação ou destruição de valor para o acionista?
• Qual o significado sobre a ótica do acionista em pagar $80.000 pelo fluxo de caixa?
• Qual o significado sobre a ótica do acionista em pagar $110.000 pelo fluxo de caixa?

2. Qual o valor do fluxo de caixa projetado no momento zero com base nos dados a seguir:

– Fluxo de caixa projetado no momento 1: zero
– Perpetuidade somente do ano 2 em diante: $15.000
– Taxa de desconto (custo de capital próprio – CCP): 15% a.a.

• Qual o valor justo a pagar por este fluxo de caixa projetado no momento zero?
• E se a perpetuidade de $15.000 se iniciasse apenas no período 3 em diante, sendo o fluxo de caixa projetado em zero no momento 1 e 2?

Casos Práticos Resolvidos

Solução do caso 1

• Valor da empresa = perpetuidade = $15.000 / 0,15 = $100.000
• Este retorno anual de 15% assume que o investidor ano a ano receberá $15.000, além de ter a possibilidade de revender a qualquer momento sua participação acionária pelos mesmos $100.000 pagos.
• Não. O valor de $100.000 está a preços do momento zero.
• Pagar $100.000 pelo fluxo de caixa não implica em criar ou destruir valor para o acionista.
• Pagar $80.000 por um fluxo de caixa que vale $100.000, implica em criar $20.000 de valor para o acionista.
• Pagar $110.000 por um fluxo de caixa que vale $100.000, implica em destruir $10.000 de valor para o acionista.

Solução do caso 2

• Valor do fluxo de caixa projetado = $0 / 1,15 + ($15.000 / 0,15) / 1,15 = $86.956,52
• O fluxo de caixa projetado vale $100.000 no momento 1. Para trazê-lo para o momento zero temos que dividi-lo por 1,15.
• Valor do fluxo de caixa projetado = $0 / 1,15 + $0 / 1,152 + ($15.000 / 0,15) / 1,152 = $75.614,36
• O fluxo de caixa projetado vale $100.000 no momento 2. Para trazê-lo para o momento zero temos que dividi-lo por 1,15 duas vezes.

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